Почему числа 13! и 102! не могут быть квадратами натуральных чисел?
С объяснениями плиз.

каждый простой множитель должен входить в разложение квадрата с чётным показателем , но в 13! число 13 входит с показателем 1 , а в 102! простой сомножитель 101 входит также с показателем 1

Ответ
5 (1 оценка)
2
mic61 8 месяцев назад
Светило науки - 315 ответов - 2064 помощи

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть n - любое натуральное число. Разложение его на простые множители вот такое:

n=1*n₁*n₂*...nₐ если число составное, и n=1*n если число простое (где n₁, n₂, ... nₐ - простые числа).

Квадрать числа n будет иметь вид:

n²=1*n₁²*n₂²*...nₐ² если число составное, и n²=1*n² если число простое.

Предположим, что n²= k!, (где n и k ∈ N), тогда

n²=1*n₁²*n₂²*...nₐ²=1*2*3*4*...k (n - в общем случае составное число)

Мы видим, что у одного и того же числа (n²=k!) различное разложение на простые множители. А это не возможно по основной теореме арифмемики. Т.о.  n² ≠ k! , ну кроме тривиального случая, когда n=k=1.

Поеэтому ни 13!, ни 102! не могут быть квадратами натуральных чисел.

Остались вопросы?